Question

高等数学求极限问题

limx→π sin3x/tan5x为什么不可以用等价无穷小代换

Answer 1

可以代换：
sin3x ~ -3x
tan5x ~ 5x
所以，极限为-3/5

和你说一下可以代换的原因：
我们知道 sinx ~x （x→0）
sin3x中，设3(x-π)=t，因为x→π，所以，t→0.
而3x-3π=t，得3x=t+3π
所以sin3x=sin（t+3π）=-sint~-t

Answer 2

用等价无穷小代换当然是可以的，但是不是用3x代换sin3x，用5x代换tan5x，原因是明摆着的：x→π时，sin3x与tan5x都是无穷小，但是3x与5x是无穷小吗？
代换可以这样进行：sin3x=sin(3π-3x)等价于3π-3x，tan5x=tan(-5π+5x)等价于-5π+5x，所以原极限=lim (3π-3x)/(5x-5π)=-3/5

Answer 3

limx→π sin3x/tan5x (用罗必达法则)
limx→π 3cos(3x)*cos²(5x)/5=-3/5

等价无穷小代换时
tan5x 是从负值趋近 0
sin3x是从正值趋近 0，两者异号

Answer 4

可以代换
＝lim[﹣﹙3x/5x﹚]＝﹣3/5