Question

如图,正方形ABCD对角线BD,AC交于点O,E是OC上一点,AG⊥DE交BD于F求证（1）OE=OF （2）EF∥DC

图有些错误E、F相连

Answer 1

∵正方形ABCD对角线BD,AC交于点O,
∴AC⊥BD，OA=OB，
又∵AG⊥DE于G，
∴∠OAF+∠AEG=∠ODE+∠AEG=90°，
∴∠OAF=∠ODE，
又∵∠AOF=∠DOE，
∴△AOF≌△DOE（ASA），
∴OE=OF

(2)∵∠EOF=90°，OE=OF，
∴∠OEF=45°
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴∠OEF=∠OCD,
∴EF∥CD

Answer 2

（1）因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，AO=OD=OC=OB，角FOE=90°，角OAF+角AFO=90°
且△DOC为等腰直角△，角ODC=角OCD=45°
因为,AG⊥DE，所以角AGD=90°，角FDG+角DFG=90°，而角DFG=角AFO，所以角OAF=角FDG
所以RT△EOD=RT△FOA，所以OE=OF
（2）由（1）OE=OF ，BD⊥AC得△FOE为等腰直角三角形，所以角OFE=角OEF=45°
所以角OFE=角ODC=45°
所以EF∥DC