Question

高一数学。求函数f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[-1,1]上的最小值。【求详细过程和答案】

Answer 1

函数f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[-1,1]上的最小值。
函数f(x)=x²-2ax+a²+1 对称轴x=a 开口向上
(1) a<=-1 f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[-1,1]上是增函数，x=-1 最小值=a^2+2a+2
(2) a>=1 f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[-1,1]上是减函数，x=1 最小值=a^2-2a+2
（3）-1<a<1 f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[-1,1]上先减后增，x=a 最小值=1

Answer 2

函数f(x)=x²－2ax＋a²＋1是一个开口向上的二次函数，它的对称轴x=－(－2a/2*1)=a

分类谈论：
①当a≤－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增
∴最小值：
f(x)min=f(－1)=(－1)²－2a*(－1)＋a²＋1=a²＋2a＋2

②当－1＜x＜1时，f(x)在[－1,1]上先递减在递增，故在对称轴处取最小值
∴最小值：
f(x)min=f(a)=a²－2a*a＋a²＋1=1

③当x≥1时，f(x)在[－1,1]单调递减
∴最小值
f(x)min=f(1)=1²－2a*1＋a²＋1=a²－2a＋2

Answer 3

f‘(x)=2x-2a
令f'(x)=0时,x=a
由于x≤a时，f'（x）≤0 ①
x>a时，f’（x）>0 ②
∴x=a时取得f（x）的极小值
若a≤-1时，则f（x）min=f(-1)=2+2a+a^2
若-1<a<1,f(x)min=f(a)=1
若a≥1，f(x)min=f(1)=2-2a+a^2
综上，……

注明一下都是在【-1，1】所取的最小值，还有 ①②处要+上单调性，因为这样打有点麻烦所以我省略了= =，不过你写的时候就别省了，否则会扣分O(∩_∩)O~

Answer 4

当a在（-1，0）时最小值是1，最大值是（a-1）平方+1，当a在（0，1）时最小值是1，最大值是（a+1）平方+1。当a在（负无穷，-1）时最小值是（a+1）平方+1，最大值是（a-1）平方+1，当a在（1，正无穷）时，最小值是（a-1）平方+1， 最大值是（a+1）平方+1。
你可以画图再看我的解释会更加清楚的。
多谢指正！！