Question

如图所示，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是？？

Answer 1

设AD中点为F，根据菱形的对称性质可得E和F关于AC对称。
连接BF，与AC相交于P'，P‘就是所求能使PE+PB最小的动点P的位置。
菱形边长为2，故AB=2，AF=1，∠BAD=60°
根据余弦定理，有BF²=AB²+AF²-2AB·AF·cos∠BAD=4+1-2=3
所以BF=√3，即PE+PB的最小值√3

Answer 2

解：连结BD，设AC与BD交于O
因为ABCD菱形
所以AC垂直BD
所以BO=DO
所以BP=DP
所以BP+PE=DP+PE
在三角形DEP内
DP+PE>DE
所以DP+PE的最小值为DE
DE=AD*sin60度=2*(根号3)/2=根号3
所以BP+EP的最小值为根号3

Answer 3

设AP=X, 应用余弦定理 ∠BAC=30°
PE=AE^2+AP^2-2*AE*AP*COS30°=X^2-3^(1/2)X+1
PB=AB^2+AP^2-2*AB*AP*COS30°=X^2-2*3^(1/2)X+4

PB+PE=2*X^2-3*3^(1/2)x+5
PB+PE最大值可解出为X=（3/4）*3^(1/2) 时最大
PB+PE=13/8

Answer 4

当p点在AC中点时最短，为2.

答案仅供参考

Answer 5

√3

∵BP=DP
∴PE+PB=PE+PD≤DE=√3

追问

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追答

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