Question

如图，菱形ABCD中，角ABC=120°，M是AB的中点，P是对角线AC上的动点，若PM+PB的最小值是5，

求AB的长。

Answer 1

解:连接BD.
∵四边形ABCD为菱形;∠ABC=120°.
∴AB=AD;∠BAD=60°.
则:⊿ABD为等边三角形,AD=BD.
∵点D和B关于AC对称.
∴PD=PB,则PM+PB=PM+PD.
当点P为DM与AC交点时,PM+PB最小,此时PM+PB=DM=5.
∵AD=BD(已证);AM=BM(已知)
∴DM⊥AB,设AM=X,则AD=AB=2X,DM=√(AD²-AM²)=√3X.
即:5=√3X,X=5√3/3.故:AB=2AM=10√3/3.

Answer 2

连接PD由对称性可知,PB=PD,连接DM
当PM+PB=PM+PD,D,P,M三点共线时有最小值5
角ABC=120,所以,角BAD=60,三角形ABD是等边三角形,M是AB的中点,DM垂直于AB
菱形边长为:5/cos30=10/3*√10
P点位置为(10/3*√10*1/2)/cos30=10/3