Question

设f（x）=log1/2（1-ax/x-1）为奇函数，a为常数。

（1）求证：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（2）若对于[3，4]上的每一个X的值，不等式f（x）＞（1/2）^x +m恒成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）F(x)为奇函数，则有f（x）=-f(-x)
可算得 a=±1
又因为a=1时原函数无意义，故a=-1
所以F(x)=log2 ((x-1)/(x+1))
x>1时，(x-1)/(x+1)<1 所以 f(x)递增
（2）令g(x)=-(1/2)^x
则g(x)为[1,+∞]上的增函数
则有G(x)=f(x)+g(x)在[1,+∞] 递增，故G（x）在[3,4]上最小值为G（3）=f(3)+g(3)=-9/8
∴m<-9/8
注意答题思路，可能计算有误，但思路应该没问题，有问题还是多问问周围同学吧，至少很快能得到回复，加油！

Answer 2

同意紫菜关于a的求法，但是那个递增什么 的好像错了。由求得的a，可以算出这个函数的定义域（养成良好的解题习惯，虽然这一步可能没用，为[-1,1]在实数集上的补集，额···），然后可以有两种办法，设定1《x1<x2,比较f（x2）-f（x1）是不是大于零（这是增函数的定义），或者求函数在1到正无穷的一阶导数，看是不是大于0. 第二问用第一题的结论，在[3,4]上位增函数，那个-（1/2）^x也是增函数，所以恒满足的取值是m严格小于在3处的取值。不取等号！！小细节，多注意啊。