Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的两个焦点分别为F1(-√2,0),F2(√2,0),

点M（1,0）与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直。（1）求椭圆C的方程（2）过M（1,0）的直线l与椭圆C相交于A,B两点，设点N(3，2)，记直线AN,BN的斜率分别为k1，k2，求证k1+k2为定值

Answer 1

1.解：因为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的两个焦点分别为F1(-√2,0),F2(√2,0),所以
a²-b²=（根号2）²=2，
椭圆的短轴的两个定点为（0，b），（0，-b），那么与点M（1，0）的直线方程为
y=-bx+b，y=bx-b，因为两直线垂直，所以-b*b=-1，所以b=1（因为b＞0），所以a=根号3
所以椭圆方程为：x²/3+y²=1
2.

追问

那第二问怎么做呢

追答

2.证明：设直线L的方程为y=kx-k（过（1,0）点），点A为（x1,y1），B为（x2,y2），因为y1=kx1-k，y2=kx2-k，所以A（x1，kx1-k），B（x2，kx2-k），
联立方程y=kx-k，x²/3+y²=1，消去y得到（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，所以
x1+x2=6k²/（1+3k²），x1x2=（3k²-3）/（1+3k²），所以
k1+k2=（y1-2)/（x1-3)+（y2-2）/（x2-3）=[（kx1-k-2)(x2-3)+（kx2-k-2）（x1-3)/[（x1-3)(x2-3)]=[2kx1x2-（4k+2)（x1+x2）+6k+12）]/[x1x2+3(x1+x2）+9]=[2k（3k²-3）/（1+3k²）-（4k+2)*6k²/（1+3k²）+6k+12]/[（3k²-3）/（1+3k²）-3*6k²/（1+3k²）+9]=（24k²+12）/（12k²+6）=2