Question

若数列bn满足b1+2*b2+2^2*b3+...+2^n-1*bn=an,求数列bn的前n项和Tn.

已知等差数列an的公差不为零，且a3=5,a1,a2,a5成等比数列，
（1）求数列an的通项公式。
（2）若数列bn满足b1+2*b2+2^2*b3+...+2^n-1*bn=an,求数列bn的前n项和Tn.

Answer 1

1）因为an为等差数列
所以a1=5-2d a2=5-d a5=5+2d
又a1,a2,a5成等比数列
所以(a2)^2=a1*a5 既（5-d）^2=(5-2d)*(5+2d)
又d≠0 解得d=2 则a1=1
an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1
2）b1+2*b2+2^2*b3+...+2^n-1*bn=an
b1+2*b2+2^2*b3+...+2^(n-2)*b(n-1)=a(n-1)
两式相减得：2^n-1*bn=an-a（n-1）=d 则 bn=2^(2-n)
既bn是以2为首项,1/2为公比的等比数列
Tn=a1（1-q^n）/(1-q)=4[1-(1/2)^n]