四边形ABCD中，AB =7，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长
利用余弦定理求AC的长，AB=AC，利用正弦定理求角DAC;角DAB=角DAC+90º;在三角形ADB中用余弦定理求BD的长。
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD
即∠BAD=∠CAD′
在△BAD与△CAD′中，
BA＝CA
∠BAD＝∠CAD′
AD＝AD′
∴△BAD≌△CAD′（SAS），dao
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=根号（AD2+A'D'2)＝根号32＝4根号2
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=根号(CD2+DD'2)＝根号（9+32）＝根号41
扩展资料：
证明的思路为：从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
参考资料来源：百度百科-勾股定理
BD的长＝根号41。
利用余弦定理求AC的长，AB=AC，利用正弦定理求角DAC;角DAB=角DAC+90º；在三角形ADB中用余弦定理求BD的长。
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD
即∠BAD=∠CAD′
在△BAD与△CAD′中，
BA＝CA
∠BAD＝∠CAD′
AD＝AD′
∴△BAD≌△CAD′（SAS），dao
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=根号（AD2+A'D'2)＝根号32＝4根号2。
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=根号(CD2+DD'2)＝根号（9+32）＝根号41。
余弦定理可应用于以下三种需求：
1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
3、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。
利用两边及其夹角，求出角ACB，再两边及其夹角求出DB
具体怎么算，你自己试试
