Question

已知二次函数y=f（x），满足f（-2）=f（0）=0，且f（x）的最小值为-1

（1）若函数F（x）=f（x），x∈R为奇函数，当x>0时，F（x）=f（x）求函数y=F（x），x∈R 的解析式
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1,1]上是减函数，求实数λ的取值范围

Answer 1

设f(x)=ax2+bx+c 由题f（-2）=f（0）=0得c=0,b=2a,f（x）在x=-2a/b时取得最小值，即x=-1时取得最小值，计算得a=1,b=2 f(x)=x2+2x
(1)x>0,f(x)=x2+2x;x<0,f(x)=-f(-x)=-x2+2x
(2)g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1
当λ=1时，成立
当λ=/（不等于）1时，g(x)'=(1-λ)x-2(1+λ)
1-λ>0时，2（1+λ）/(1-λ)>=1得λ属于[-1/3,1)
1-λ<0时，2（1+λ）/(1-λ)<=-1得λ>1
综上，λ>=-1/3
不知道计算对么，你看看吧，不太会表达，主要是符号不好写

Answer 2

(1) f(x)=x方+2x
x>0时，F(X)=f(x)=x方+2x
x<0，-x>0 F(-X)=f(-x)=x方-2x=-F(X) F(X)=-X方+2x

(2)g(x)=(1-λ)x方-（2+2λ）x+1
求导得g'(x)=2(1-λ)x-(2+2λ)<0 在[-1,1]上成立
当λ=1时 g'(x)=-4<0成立的
当λ≠1时 g'(x)图象是x的一次函数 g'(-1)=-4<0 恒成立
g'(1)<0 λ>0
综上：λ>0或λ=1

Answer 3

设f(x)=ax2+bx+c
由题f（-2）=f（0）=0得c=0,b=2a,f（x）在x=-2a/b时取得最小值，即x=-1时取得最小值，计算得a=1,b=2
f(x)=x2+2x
(1)x>0,f(x)=x2+2x;x<0,f(x)=-f(-x)=-x2+2x
(2)g(x)=(1-λ)x2-2(1+λ)x+1
当λ=1时，成立
当λ=/（不等于）1时，g(x)'=(1-λ)x-2(1+λ)
1-λ>0时，2（1+λ）/(1-λ)>=1得λ属于[-1/3,1)
1-λ<0时，2（1+λ）/(1-λ)<=-1得λ>1
综上，λ>=-1/3
不知道计算对么，你看看吧，不太会表达，主要是符号不好写