Question

已知下面三个方程有公共根，ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0，

求证：a的三次方+b的三次方+c的三次方=3abc

Answer 1

将已知三个方程相加，得 (a+b+c)x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0 ，
即 (a+b+c)(x^2+x+1)=0 ，
由于 x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0 ，因此 由上式得 a+b+c=0 ，（原方程的公共根为 x=1）
所以，a^3+b^3+c^3-3abc
=[(a+b)^3-3ab(a+b)]+c^3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=0 ，
因此 a^3+b^3+c^3=3abc 。