Question

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E． 求证：AC=CE．

Answer 1

设AE与BD交于N
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAC=∠OCB=∠CBO,AC=BD
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45°
∵∠EAC=∠EAD-∠OAD=∠EAD-∠CBO=45°-∠CBO
∵EM⊥BD
∴∠CEA=90°-∠ENM=90°-∠ANB
∵∠ANB=∠180°-∠BAM-∠ABN=180°-45°-∠ABN=135°-﹙90°-∠CBO﹚=45°+∠CBO
∴∠CEA=90°-45°-∠CBO=45°-∠CBO
∴∠EAC=∠AEC=45°-∠CBO
∴AC=CE

希望满意次采纳，祝学习进步。

追问

∠BAM哪来的

追答

M是CE与BD的垂足，

Answer 2

证明：延长BC交AE于F，过点C作CG⊥AE于G，设CE与BD交于点P，AE与CD交于点Q
∵矩形ABCD
∴∠DCB＝∠DCF＝∠BAD＝∠ADC＝90，∠BDC＝∠ACD
∴∠BDC+∠DBC＝90
∵CE⊥BD
∴∠BCP+∠DBC＝90
∴∠BDC＝∠BCP
∴∠ACD＝∠BCP
∵∠ECF＝∠BCP
∴∠ACD＝∠ECF
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2＝45
∵AB∥CD
∴∠CQE＝∠BAE＝45
∴等腰RT△CQF
∴∠CFQ＝∠CQE＝45,CF＝CQ
∴∠AQC＝180-∠CQE＝135, ∠CFE＝180-∠CFQ＝135
∴∠AQC＝∠CFE
∴△AQC≌△EFC （ASA）
∴AC＝CE

追问

点F已经告诉了，为什么还要呢

追答

还是没看到F，应该是CE与BD交于F吧。
证明：延长BC交AE于P，过点C作CG⊥AE于G， AE与CD交于点Q
∵矩形ABCD
∴∠DCB＝∠DCP＝∠BAD＝∠ADC＝90，∠BDC＝∠ACD
∴∠BDC+∠DBC＝90
∵CE⊥BD
∴∠BCF+∠DBC＝90
∴∠BDC＝∠BCF
∴∠ACD＝∠BCF
∵∠ECP＝∠BCF
∴∠ACD＝∠ECP
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2＝45
∵AB∥CD
∴∠CQE＝∠BAE＝45
∴等腰RT△CQP
∴∠CPQ＝∠CQE＝45,CP＝CQ
∴∠AQC＝180-∠CQE＝135, ∠CPE＝180-∠CPQ＝135
∴∠AQC＝∠CPE
∴△AQC≌△EPC （ASA）
∴AC＝CE