Question

已知函数f(x)=log2的平方 x-2log2 x+3的定义域为[1,4],求函数f(x)的最大值和最小值。

log2的平方 x等于什么。

Answer 1

已知函数f(x)=log²₂x-2log₂x+3的定义域为[1,4],求函数f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(log₂x-1)²+2，自然定义域为x>0；
设y=u²+2，u=log₂x-1；
y是关于u的二次函数，是偶函数；在-∞<u≦0内单调减，在0≦u<+∞内单调增；
u的定义域为0<x<+∞，在其全部定义域内都是x的增函数；
当1≦x≦4时，-1≦u≦1；当u=log₂x-1=0，即当log₂x=1，也就是当x=2时f(x)获得最小值f(2)=2；
当u=log₂x-1=±1，即当log₂x=2或0时，也就是当x=4或1时f(x)获得最大值f(4)=(log₂4-1)²+2=3
=f(1)=((log₂1-1)²+2=3.

Answer 2

应该是 log²2 x log 平方以2为底 x的对数

f(x)=log2的平方 x-2log2 x+3
=(log2 x-1)²+2
对称轴是x=2
因此x=2时有最小值2
当x=1时 f(1)=3
当x=4时 f(4)=3
∴当x=1或4时有最大值3

追问

f(x)=log2的平方 x-2log2 x+3
=(log2 x-1)²+2
这一部的过程可以写详细点吗。

追答

f(x) =log²2 x-2log2 x+3
=log²2 x-2log2 x+1+2 前面一部分凑成一个完全平方式
=(log2 x-1)²+2

追问

哦次奥我看错符号了…是说怎么变成减号了。不过是怎么知道当x=1or4时它的值最大的？
=v=多谢顺便再问一下y=log1/3(4-x)的单调区间怎么求。
拜托了TAT。

追答

图像是一个曲线段，在这曲线的两端有最值

y=log1/3(4-x)的单调区间是x<4 y随x的增大而增大

追问

定义域是[1,4]为什么对称轴是x=2？这样不就不对称了？

追答

是抛物线的对称轴，并没有说那个曲线段是对称的