Question

若函数f(x)=loga(2x^2+x) (a>0,a≠1)在区间(1/2,1)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是————？

若函数f(x)=loga(2x^2+x) (a>0,a≠1)在区间(1/2,1)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间是————？

我自己做的答案是负无穷到负二分一~可是错了............求详细过程与正确答案

Answer 1

根据图像很容易直到 要使f(x)大于0
则0<a<1 ;0<2x2+x<1 或a>1; 2x2+x>1
函数f(x)=loga(2x^2+x) (a>0,a≠1)在区间(1/2,1)内恒有f(x)>0 此时2x2+x>1 所以 a>1

设y=2x^2+x 图像开口向上、对称轴直线x=-1/4
当x<-1/4 时，y为减函数
当x大于等于-1/4 时，y为增函数
f(x)=logax a>1为增 ；当x大于等于-1/4 时，y为增函数
2x^2+x>o 所以x<-1/2 或x>0
所以在（0 ，+无穷）上单调递增

Answer 2

先确定f(x)定义域为x<-1/2或x>0
令g(x)=2x^2+x，显然开口向上、对称轴x=-1/4
当x<-1/2时，g(x)为减函数
当x>0时，g(x)为增函数
令h(x)=loga(x)，此为对数函数
当a>1时，h(x)为增函数
当0<a<1时，h(x)为减函数
显然f(x)由h(x)与g(x)复合而成，即f(x)=h[g(x)]
当a>1时，x<-1/2区间上f(x)为减函数，x>0区间上f(x)为增函数
当0<a<1时，x<-1/2区间上f(x)为增函数，x>0区间上f(x)为减函数
若f(x)>0，即loga(2x^2+x)>loga(1)
则当a>1时，有2x^2+x>1，即x<-1或x>1/2
当0<a<1时，有0<2x^2+x<1，即-1<x<-1/2或0<x<1/2
可见要保证区间(1/2,1)内恒有f(x)>0，必有a>1，此时递增区间为x>0

Answer 3

由于当在在区间(1/2,1)内2x^2+x单调增且范围为（1,3），推得a>1,从而2x^2+x>1时递增，即
(2x-1)(x+1)>0,得x>1/2或x<-1 给分我啊