Question

已知函数$f(x)=1/2x^2+lnx$．

已知函数f(x)=1/2x^2+lnx
求证：在区间（1，+oo）上，函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x^3图象的下方；

Answer 1

等价于证明g(x)-f(x)>0
h(x)=g(x)-f(x)=2/3x^3-1/2x^2-lnx
h'(x)=2x^2-x-1/x在（1，+oo）上是增函数（可以根据增函数的定义证明）并且h'(1)=0
所以h'(x)>0在区间（1，+oo）上
从而h(x)在区间（1，+oo）上是增函数
而h(1)=2/3-1/2-0=1/6>0
所以h(x)>0在区间（1，+oo）上
即在区间（1，+oo）上，函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x^3图象的下方

其实你也可以直接用定义证明h(x)为增函数，但是那样在化简时有些麻烦。

Answer 2

我只是给你提示,要你自己完成
你可以在区间（1，+oo）上任取一点来比较
记住是任取的，也就是任意的一点，这样才具有一般性

Answer 3

用导数解最好