Question

如图，在▱ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G． （1）求证：AF=DF；

（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长。

Answer 1

1.因为d点为ce中点，且fd//bc,得f.d为三角形bce的中位线 得fd//且=1/2bc=1/2ad
2过e做dh垂直bc延长线交於h点，得角ecd=60度，得ch=1(因为ce=2),故eh=根号3，故在直角三角形ebh中，eb平方=bh平方+eh平方 得eb=2根号3，f为bf中点，得bf=根号3，而三角形afg相似bgc,得af/bc=fg/bg=1/2 而fg+bg=根号3 所以fg=根号3/3

Answer 2

1、∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
AD=BC，AB=CD
∵CD=DE
∴BF=EF（平行线等分线段定理）
∴DF是△BCE的中位线
∴DF=1/2BC=1/2AD
∴AF=DF2过e做dh垂直bc延长线交於h点，得角ecd=60度，得ch=1(因为ce=2),故eh=根号3，故在直角三角形ebh中，eb平方=bh平方+eh平方 得eb=2根号3，f为bf中点，得bf=根号3，而三角形afg相似bgc,得af/bc=fg/bg=1/2 而fg+bg=根号3 所以fg=根号3/3

Answer 3

1、∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
AD=BC，AB=CD
∵CD=DE
∴BF=EF（平行线等分线段定理）
∴DF是△BCE的中位线
∴DF=1/2BC=1/2AD
∴AF=DF
2、∵BC=2AB，DE=1
∴AB=AF=DC=DE=1
BC=2AB=2

Answer 4

1. （1）证明：连接BD、AE，
   ∵四边形ABCD是平行四边形，
   ∴AB∥CD，AB=CD，
   ∵DE=CD，
   ∴AB∥DE，AB=DE，
   ∴四边形ABDE是平行四边形，
   ∴AF=DF．
   
   （2）解：在BC上截取BN=AB=1，连接AN，
   ∵∠ABC=60°，
   ∴△ANB是等边三角形，
   ∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
   ∵BC=2AB=2，
   ∴CN=1=AN，
   ∴∠ACN=∠CAN=12×60°=30°，
   ∴∠BAC=90°，
   由勾股定理得：AC=22-12=3，
   ∵四边形ABCD是平行四边形，
   ∴AB∥CD，
   ∴△AGB∽△CGE，
   ∴BGGE=ABCE=AGCG，
   ∴11+1=AG3-AG，
   AG=33，
   在△BGA中，由勾股定理得：BG=12+(
   33)2=2
   33，
   ∵BGGE=12，
   ∴GE=4
   33，
   BE=4
   33+2
   33=23，
   ∵四边形ABDE是平行四边形，
   ∴BF=12BE=3，
   ∴FG=3-2
   33=33．

Answer 5

ae⊥df
证法1：设ae与df相交于点h
∵四边形abcd是正方形
∴ad＝ab，∠daf＝∠baf
又∵af＝af
∴△adf≌△abf
∴∠1＝∠2
又∵ad＝bc，∠ade＝∠bce＝90°，de＝ce
∴△ade≌△bce
∴∠3＝∠4
∵∠2＋∠4＝90°
∴∠1＋∠3＝90°
∴∠ahd＝90°
∴ae⊥df
证法2：设ae与df相交于点h
∵四边形abcd是正方形
∴dc＝bc，∠dcf＝∠bcf
又∵cf＝cf
∴△dcf≌△bcf
∴∠4＝∠5
又∵ad＝bc，∠ade＝∠bce＝90°，de＝ce
∴△ade≌△bce
∴∠6＝∠7
∵∠4＋∠6＝90°
∴∠5＋∠7＝90°
∴∠ehd＝90°
∴ae⊥df