Question

求矩阵A=（2 -2 0 -2 2 0 0 0 2）的特征值和特征向量

A=（2 -2 0，-2 2 0,0 0 2）

Answer 1

1. 求出特征值
|A-λE|=
2-λ -2 0
-2 2-λ 0
0 0 2-λ
= (2-λ)[(2-λ)^2-4]
= (2-λ)(λ^2-4λ)
= (2-λ)(λ-4)λ
所以A的特征值为 0,2,4

2,对每个特征值λ求出 (A-λE)X = 0 的基础解系.
对特征值 0,把 A用初等行变换化成

1 -1 0
0 0 1
0 0 0
得基础解系:( 1 1 0)'.
所以A的属于特征值0的全部特征向量为 k1(1,0,1)^T,k1为任意非零常数
对特征值 2,把 A-2E 用初等行变换化成

1 0 0

0 1 0
0 0 0
得基础解系:(0 0 1)'
所以A的属于特征值0的全部特征向量为 k2(0 0 1)^T,k2为任意非零常数
对特征值 2,把 A-4E 用初等行变换化成

1 1 0
0 0 1
0 0 0
得基础解系:(-1 1 0)'
所以A的属于特征值0的全部特征向量为 k3(-1 1 0)^T,k3为任意非零常数