Question

将r个不同的小球随机的放入n个有编号的盒子中，求有球的盒子的个数x的期望

Answer 1

定义随机变量Xi如下:当第i个盒子中有球时
Xi=1,
当第i个盒子中无球时:Xi=0
(i=1,2,3,...N)
则Y=X1+X2+X3+...+XN 就是有球的盒子的个数.

由于每个球放进该盒子的概率为:1/N.而不放入该盒子的概率为:(1-1/N).
每个是否放入该盒子相互独立,故N个球均不放入该盒子的概率为:(1-1/N)^N, (1)
而至少有一个球放入该盒子的概率
为:1-(1-1/N)^N. (2)
由此得到Xi的分布律:
P{Xi=0}=(1-1/N)^N,
P{Xi=1}=1-(1-1/N)^N.
由数学期望的性质:
故E(Xi)=0*(1-1/N)^N+1*[1-(1-1/N)^N]
=1-(1-1/N)^N.
(i=1,2,3,...N)
而E(Y)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(XN)
=N*[1-(1-1/N)^N]
即为所求