Question

已知：M、P分别是△ABC的边AB、AC上的点，AM=BM，AP=2CP，BP与CM交于N，求证：BN=3NP

Answer 1

证明:从P作PQ∥AB，交CM于Q
PQ∥AB，所以∠CPQ=∠A，∠CQP=∠CMA
△CPQ∽△CAM，PQ：AM=CP：AC=CP：（CP+AP）=1：3
AM=3PQ
因为AM=BM，所以PQ：BM=1：3
PQ∥AB，所以∠NPQ=∠NBM，∠NQP=∠NMB
△PQN∽△BMN，PN：BN=PQ：BM=1：3
因此BN=3PN

Answer 2

证明：过点M作MD∥BP交AC于D
∵M是AB的中点，MD∥BP
∴MD是△ABP的中位线
∴BP＝2MD，AD＝PD＝AP/2
∵AP＝2CP
∴PD＝2CP/2＝CP
∴NP是△CMD的中位线
∴NP＝MD/2
∴BN＝BP-NP＝2MD-MD/2＝3MD/2
∴BN＝3NP