Question

抛物线y=1/2x^2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2）

抛物线y=1/2x^2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2）且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称
（1）求着条抛物线的函数关系式
（2） 设题中的抛物线与的另一个交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ垂直x轴，交抛物线于点Q，试证明：当P为AC的中点时，线段PQ的长取最大值，并求出PQ的最大值

Answer 1

解：
1、点M（1，2）且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称 ，所以点N的坐标为（1，-2），根据抛物线的顶点坐标公式是 （-b/2a，（4ac-b²）/4a)，有-m/2*1/2=1，解得m=-1；(4n*1/2-1)/4*1/2=-2，解得n=-3/2，所以抛物线的函数关系式为y=1/2x^2-x-3/2
2、A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），所以直线AC的解析式为y=x+1，
C点坐标求得为（5，6），AB的中点为（2，3），
PQ 的距离=(x+1)-(1/2x^2-x-3/2)=(x-2)^2/2+9/2
所以当x=2时即P点是AC的中点时，线段PQ的长取最大值，PQ的最大值为4.5。