Question

已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦，若弦AB背焦点F分成长为m,n的两部分

已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦，若弦AB被焦点F分成长为m,n的两部分，求证：1/m+1/n=2/p

Answer 1

此题需要画图通过几何知识来解：
以原点为顶点作一条开口向右的抛物线，焦点F（p/2,0），准线方程：x=-p/2,准线交x轴于G。直线过F交抛物线于A,B,不妨设FA=m，FB=n，过A作AC垂直于准线于C，过B作BD垂直于准线于D，则有AC=m,BD=n(抛物线离心率e=1),
延长DF交CA延长线于E，由三角形AEF和BDF相似（AC平行于BD推得），及AF=m,BD=n,可得到AE=m，所以CE=2m.
在三角形DCE中，利用平行线分线段成比例定理，有：GF/CE=BF/BE,由抛物线性质GF=p,因此p/(2m)=n/(m+n),整理分式可得1/m+1/n=2/p.