Question

函数f(x)对于任意ab属于R,都有f(a+b)=f（a）+f（b）-1且当x>0时f(x)>1 1, 求证f(x)是R上的增函数

Answer 1

证明：法一：在R上取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1
∵函数f（x）对于任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1成立
∴令a=b=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则有f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，即f（0）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=2-f（x）， ∴f（-x1）=2-f（x1）
而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）+2-f（x1）-1＞1，
即f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在R上为增函数；

法二：在R上取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1
f(x2)－f(x1)=f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)=[f(x2－x1)＋f(x1)－1]－f(x1)=f(x2－x1)－1＞0
即 f(x1)＜f(x2) ∴函数f(x)是R上的增函数

（2）令m=n=2，有f（2+2）=f（2）+f（2）-1，即f(4)=2f(2)-1，解得f(2)=3
由题f(3m²-7)<3=f(2)，且函数f（x）在R上为增函数，故
3m²-7＜2， 解得: -√3＜m＜√3

Answer 2

设x1>x2，则：
f(x1)－f(x2)=f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)=【f(x1－x2)＋f(x2)－1】－f(x2)=f(x1－x2)－1
由于x1－x2>0，则f(x1－x2)>1，则：f(x1)－f(x2)=f(x1－x2)－1>0
即：f(x1)>f(x2)
所以，函数f(x)是R上的增函数。

追问

1, 求证f(x)是R上的增函数
2，若f(4)=5,解不等式 f(3m²-7)<3

追答

f(4)=f(2)+f(2)-1=5

f(2)=3
f(3m^2-7)<f(2)
3m^2-7<2
m^2<3
-根号3<m<根号3

Answer 3

你是高一的吧