Question

已知a,b,c均为正数，

已知a,b,c均为正数，求证lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]>=lga+lgb+lgc

Answer 1

lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]=lg[(a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+cb^2+bc^2)/8]把里面的式子化简一下就是a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+2abc 因为a,b,c均为正数 所以b^2+c^2大于等于2bc 所以a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)+2abc大于等于8abc当且仅当a=b=c时等号成立，又因为lg是递增函数所以lg[(a+b)/2]+lg[(b+c)/2]+lg[(c+a)/2]>=lga+lgb+lgc