Question

如图,在菱形ABCD中,E是AB中点,且DE⊥AB,AB=4。 求:(1)∠ABC的度数; (2)菱形ABCD的面积。

如图,在菱形ABCD中,E是AB中点,且DE⊥AB,AB=4。 求:(1)∠ABC的度数; (2)菱形ABCD的面积。

Answer 1

做辅助线，连接DB。因为E是AB中点,且DE⊥AB，AB=AD,所以ABD为正三角形。所以∠ABD=60度，所以∠ABC=120度。
AE*AE +DE*DE = AD* AD AE=2,AD=4 推出DE=根号12
菱形面积 = 根号12 *4 。

追问

为什么ABD为正三角形？

追答

就因为E是AB中点,且DE⊥AB，推出ADB为等腰三角形，其中AD= DB，再因为AB=AD，所以AD=DB=AB .所以为正三角

追问

为什么AD=DB？

追答

因为ADB为等腰，它的两个腰是AD,DB。所以AD，DB相等。而根据E是AB中点,且DE⊥AB这个条件，就可以等出ADB是为AD=DB的等腰三角形。
因为ABCD是菱形，所以四边相等。

追问

DB不是它的一条边，应该是
证全等三角形吧？△ADE≌△DBE，所以AD=BD。

追答

先做做辅助线，连接DB。就有ADB这个三角形了。

追问

对啊，如果不证全等三角形，怎么证的AD=BD？

追答

就因为E是AB中点,且DE⊥AB，推出ADB为等腰三角形，其中AD= DB，它的两个腰是AD,DB。所以AD，DB相等。
（而根据E是AB中点,且DE⊥AB这个条件，就可以等出ADB是为AD=DB的等腰三角形。）

再因为AB=AD，所以AD=DB=AB .所以为正三角

追问

等腰三角形的最最明显的两腰应该是AD和AB啊，因为它们是菱形的两条边，所以一样，AD=DB又是怎么算的？

追答

因为这个条件:E是AB中点,且DE⊥AB ，推出的是AD=AB的等腰三角形。而后再AD=DB , 再AD=DB=AB推出正三角形。

追问

我要问的正是AD为什么会等于DB

追答

或者你根据AD=2AE。推出EAD=60度。再AB=AD，所以ADB为正三角形。

追问

还是不明白，可以证全等三角形吗？我财富值快没了……T-T怎么办……

Answer 2

解：（1）有四边形ABCD是棱形，所以AB=AD 且 AB//CD，∠ABC + ∠BAD = 180度
又因E是AB中点，所以AB = 2AE 所以AD=2AE
DE⊥AB所以∠ADE = 30度（sin ∠ADE = AE/AD = 1/2）
所以∠BAD = 60度（∠ADE + ∠BAD = 90度）
所以∠BAD = 120度
（2）
在直角三角形ADE中∠ADE = 30度,AE = 2,所以DE= 2√3
平行四边形的面积为底边成以底边上的高
所以棱形ABCD的面积为AE * DE = 8√3。

追问

我们还没学到那里，可以仅根据初二的知识解吗？

追答

（1）可以连接BD，由于E是AB中点,且DE⊥AB,所以DE垂直平分AB， 所以AD=BD
又因为AD=AB，所以三角形ABD是等边三角形。所以∠BAD = 60度
因为∠ABC + ∠BAD = 180度，所以∠BAD =120度

Answer 3

俊狼猎英团队为您解答

⑴∵E为AB中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴DA=DB，
∵四边形ABCD是菱形，∴DA=AB，
∴DA=AB=DB，∴ΔABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，
又AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=120°；
⑵在RTΔADE中，∠ADE=90°-∠BAD=30°，
∴AE=1/2AB=2(30°角所对直角于斜边的一半)，
根据勾股定理：DE=√(AB^2-AE^2)=2√3，
∴S菱形=AB*DE=4*2√3=8√3。

Answer 4

菱形四边相同，E是AB中点，AB=4，则AE=2，DE垂直AB，在直角三角形ADE中，AD=AB=4，AE=2,所以角BAD=60度，角DAB+角ABC=180度，所以角ABC=120度

面积=DE*AB=2√3*4=8√3

Answer 5

这题我做过，但是求的是角CDE的度数，所以帮不了你