Question

若直线l:y=kx+m(k不等于0）与椭圆C：x^/4+y^/3=1交于不同的两点M、N，且线段MN的

垂直平分线过定点G（1/8，0），求k的取值范围

Answer 1

设M点坐标为(a,ka+m),N点坐标为(b,kb+m)，其中点为(c,kc+m)

MN垂直平分线为 y-[kc+m]=(-1/k)(x-c)
此垂直平分线过定点G（1/8，0） 所以0-（kc+m)=(-1/k)(1/8-c)
k²c+km=1/8-c c=(1/8-km)/(k²+1)
将y=kx+m代入x²/4+y²/3=1 得
x²/4+(kx+m)²/3=1

(1/4+k²/3)x²+(2km/3)x+m²/3-1=0
此方程有两解啊a,b则Δ=4k²m²/9-4(1/4+k²/3)(m²/3-1)>0
且 a+b=-2km/(1/4+k²/3)
又a+b=2c=（1/4-2km)/ (k²+1)
所以-2km/(1/4+k²/3) =（1/4-2km)/ (k²+1) 解得m=-(4k²+3)/(8k)
带入Δ=4k²m²/9-4(1/4+k²/3)(m²/3-1)=(4k²+3)(20k²-1)/(8k)²>0
所以 k²>1/20
k的取值范围为k<-√5/10或k>√5/10