Question

设函数f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（1）=0，证明：至少存在一点&属于（0,1）

是f`(&)=-f(&)/&

Answer 1

令：F(x)=x^2*f(x)
当x=0时，F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时，F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续，F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得：-2f(g)=g*f'(g)
故：f'(g)=-2f(g)/g

Answer 2

考虑 g(x) = x f(x), 注意到 g(0) = g(1) = 0, 然后用 Rolle 定理即可.