Question

高数简单导数应用题问题，在线等

若有一走廊A端宽为a，B端宽为8a，垂直相交，今有一根直线型的细竿，从a端进入，b端移出（不能弯曲），试问细竿最长可以多长？？

Answer 1

将最左上方的拐角设为坐标原点，题目等价于：已知直线过点（a，-8a），且直线斜率k>0
求直线与两个坐标轴交点之间距离D的最小值。
设直线方程为y=k（x-a）-8a.
两个交点坐标为（0，-（k+8）a），（8a/k+a，0）
D^2=（8a/k+a）^2 +(（k+8）a)^2
我们只需要算D^2 对k求导等于0的k值，此时对应的D为D的最小值。
所以把等式右边对k求导得：
2（8a/k+a）*（-8a/(k^2)）+2a^2 (k+8) =0
解得整理得：k^4+8k^3-8k-64=0
所以k=2
带入得D^2=（5a）^2+(10a)^2=125a^2
所以最小距离为5a倍根号5.
所以细竹竿长度不能超过5a倍根号5