Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)，过点p（1，3/2）,其左右焦点分别为F1，F2.离心率e=1/2,M、N是椭圆右准线

上的两个动点，向量F1M×向量F2N=0 求：MN的最小值

Answer 1

先解这个椭圆：e=c/a=1/2,得a=2c 再由a^2=b^2+c^2得到b=(根号3)a/2
将P点带入椭圆解得：a=2，b=根号3.
交点坐标：F1：（-1,0 ） F2：（1,0）
右准线方程：x=a^2/c =4
所以不妨设设M（4，m）,N(4,-n).其中m,n>0
【因为由向量F1M×向量F2N=0知两向量垂直，由垂直知M，N纵坐标异号，再由上下对称性知可以设M在上，N在下】

所以由斜率相乘为-1知：（m/(4+1)）*(-n/(4-1))=-1，所以mn=15
有均值不等式可得m+n>=2 倍根号（mn）=2倍根号15.
所以MN的最小值是2倍根号15.