Question

你好~请教一些高数问题

1.上限1 下限0 x^n dx 为什么等于 1/n+1 啊?
2.求 当X趋向0时，（cos（arctanx））^2n的极限。
3.为什么 上限1 下限0（上限b 下限a x^ydy）dx可以交换积分顺序，即变成上限b 下限a dy(上限1 下限0 x^y dx)
谢谢~

Answer 1

1. ∫[0,1] x^ndx=[1/(n+1)]x^(n+1)|[0,1]=1/(n+1) ........x^n的原函数为[1/(n+1)]x^(n+1)，再计算它在0到1上的增量即可
2. 因为lim【x→0】arctanx=0, lim【x→0】cosx=1，所以lim【x→0】(cos(arctanx))^(2n)=1^(2n)=1
注意，n是个固定的数，不是极限过程！
3. ∫[0,1]dx∫[a,b]x^ydy的积分区域是个矩形区域{(x,y)|0≤x≤1，a≤y≤b},所以改变二重积分的积分次序时，上下限都是常数，所以直接交换次序就行了，即
∫[0,1]dx∫[a,b]x^ydy=∫[a,b]dy∫[0,1] x^ydx
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

Answer 2

1 如果设 A 就是你那个积分 利用分部积分法可以求得 A=1-nA 然后得出结果
2 0
3 大概是因为积分区域是一定的（就是上下限不含有X和Y）所以变了顺序积分的上下限不变，
如果上下限含有X和Y也可以变顺序，只是就还要变积分的上下限

Answer 3

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