Question

在三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，O是AB上一点，以OA为半径的圆O经过点D

如图所示，在三角形ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，O是AB上一点，以OA为半

Answer 1

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

 

（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．

 

2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：BE=√（BD²-DE²）=√（5²-3²）=4
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△ACB．（5分）
∴BE/BC=DE/AC．
∴4/8=3/AC

AC=6

Answer 2

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．

(2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：BE=√（BD²-DE²）=√（5²-3²）=4
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△ACB．（5分）
∴BE/BC=DE/AC．
∴4/8=3/AC
AC=6