Question

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2)<0,求证对任意实数k，

至少存在一点&，属于（a,b）,使等式f'(&)=kf(&).

Answer 1

设F(x)=e^(-kx)f(x)
由f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2)<0可知
F(a)*F(b)>0
F(a)*F((a+b)/2)<0
从而可得F(a)，F(b)同号 F((a+b)/2)与F(a)异号 F(b)同号
不妨设F(a)>0 F(b)>0 F((a+b)/2)<0
由零点定理可得 在(a,(a+b)/2) 和((a+b)/2,b)之间F(x)有两个零点
假设为F(M)=F(N)=0
由于F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导
由罗尔定理可得
至少存在一点&，属于（a,b）,F'(&)=0
即f'(&)=kf(&)

追问

我想问一下，F(x)=e^(-kx)f(x)这个表达式你是怎样根据题意去得到的，题中并没有关于指数的函数啊，还有F(x)=e^(-kx)f(x)，后面得出F'(&)=0，是怎样得到f'(&)=kf(&) ，回答有赏！

追答

将等式移到一边解微分方程得到F(x)
F(x)求导即得结果