如图，A是圆O外一点，OA交圆O于C，PE⊥OA，∠FPC=∠CPA。求证：AP是圆O的切线
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连接OP、CE，延长AO交圆于G，连接GP
∵CO在OA上，且OC是半径
PE⊥OC(OA)
∴根据垂经定理：
PF=EF
∵CF=CF
∴Rt△PCF≌Rt△ECF
∴∠FPC=∠FEC
∵∠FPC=∠CPA
∴∠FEC=∠PEC=∠CPA
∵CG是直径
∴∠CPG=90°
∵∠PEC=∠PGC=∠PGO
∠PGO=∠OPG(OG=OP半径）
∴∠OPG=∠CPA
∵∠OPG+∠OPC=90°
∴∠CPA+∠OPC=90°
即∠OPA=90°
∴AP是圆O的切线
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