Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=—x2+ax-3，对一切x∈（0，+无穷），2f（x）＞g（x）恒成立，则实数a的取值范围

Answer 1

2xlnx>-x^2+ax-3 x>0
x^2+2xlnx+3>ax
a<x+2lnx+3/x
令h(x)=x+2lnx+3/x x>0
则a<h(x) min
h(x)'=1+2/x-3/x^2 =0
x1=-3 x2=1
h(x)在(0,1)递减，（1，+无穷）递增
当x=1时 取到最小值h(x)min=h(1)=1+3=4
a<4

Answer 2

解答：由2f(x)>g（x）
得2xlnx>-x²+ax-3，
∵x>0
∴a<(x²+3+2xlnx)/x
令g(x)=(x²+3+2xlnx)/x=x+3/x+2lnx
则a<g(x)的最小值
g'(x)=1-3/x²+2/x=(x²+2x-3)/x
即g'(x)=(x+1)(x-3)/x
∴当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
当x>1时g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴ g(x)的最小值为g(1)=4
∴a<4。

Answer 3

由2f(x)≥g(x)，有2xlnx≥-x^2+ax-3，则a≤2lnx+x+3/x，
设h(x)=2lnx+x+3/x (x＞0)，则h′(x)=(x+3)(x-1)/x^2，
①x∈(0,1),h'(x)＜0，h(x)单调递减，②x∈(1，+∞)，h'(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(1)=4，对一切x∈(0，+∞)，
2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min=4；
另外，存在x是指在规定区间内有符合条件的x，可能只有一个数符合，也可能有多个数符合。任意是指在规定区间内的所有数都符合。