Question

线代 AX=B，A不可逆，怎么求X?

线代 AX=B，A不可逆，怎么求X?A为3×3 矩阵 。A的第一行为1,-1,2第二行为1,0,1 第三行为3，-1，4 AX为3×2阶矩阵第一行为1,1 第二行为-1，3 第三行为-1，7

Answer 1

相当于解 2 个 非齐次线性方程组
Ax = b1, Ax = b2
增广矩阵 （A， b1, b2) =
[1 -1 2 1 1]
[1 0 1 -1 3]
[3 -1 4 -1 7]
初等行变换为
[1 -1 2 1 1]
[0 1 -1 -2 2]
[0 2 -2 -4 4]
初等行变换为
[1 0 1 -1 3]
[0 1 -1 -2 2]
[0 0 0 0 0]
r(A, b1, b2) = r(A) = 2 < 3
方程组 Ax = b1, Ax = b2 都有无穷多解。
Ax = b1 同解变形为
x1 = -1-x3
x2 = -2+x3
取 x3 = 0 得特解 (-1， -2， 0)^T
导出租为
x1 = -x3
x2 = x3
取 x3 = 1 得基础解系 (-1， 1， 1)^T
则通解为 x = (-1， -2， 0)^T+k (-1， 1， 1)^T
= (-1-k, -2+k, k)^T.
Ax = b2 同解变形为
x1 = 3-x3
x2 = 2+x3
取 x3 = 0 得特解 (3， 2， 0)^T
导出租为
x1 = -x3
x2 = x3
取 x3 = 1 得基础解系 (-1， 1， 1)^T
则通解为 x = (3， 2， 0)^T+c (-1， 1， 1)^T
= (3-c, 2+c, c)^T.
所求矩阵 X =
[-1-k, 3-c]
[-2+k, 2+c]
[ k, c ]
其中 k， c 为任意常数。