Question

高中数学圆锥曲线难题

在任意一个椭圆上，找一点M，过M作两条直线l1,l2，l1交x轴与P,交椭圆于A，l2交x轴于Q，交椭圆于B，使得他们与X轴形成的角相等即 三角形MPQ是等腰三角形， 过M作关于x轴的对称点M'，求证 ： AB的斜率与过M'的椭圆的切线斜率相等

Answer 1

给你另个简单的思路分析吧：
一般人看到这题会由已知经过各种复杂的推导来算得过M'的斜率，然后比较AB斜率，来达到证明的目的。
但是经过比较细心的观察，你会发现AB直线在M关于y轴对称的M''点处切线和过M‘的切线之间平移。
既然是平移，那么M’‘与M’的相同斜率即M处斜率的相反数就是这一系列直线的斜率了，我想M处的斜率怎么求就不用说了吧，可以直接求导方便一些，得到这一系列直线斜率就简单了，
随便设出一条直线方程，跟椭圆方程联立（不用直接解出根）得到两个根之间联系。
最后把这两个根和M点联立，发现两个的斜率绝对值相等（这是与条件：等腰三角形MPQ相契合）

总结：这种方法与上面那位方法比较发现：他是利用等腰三角形来得到AB斜率，直接证明。
这种方法是用某一斜率来推得等腰三角形，显然这个斜率就是切线斜率。不管用什么方法，对于高中平面解析几何来说，分析好个已知条件直接的内在联系后，解法自然而来，当然各种方法是想通的，喜欢哪种方式还不是因人而异。像这种综合性不强的题目是很容易理清各要素之间的联系的。然后就是一个计算能力问题了（这个恐怕也是你所谓难题的由来吧，当然很多学生都是因为自己计算能力不行才放弃这类题目的，想当年我经过高考时，做了无数题，然后计算能力上去了自然思路也会开阔很多，所谓见多识广嘛，当你达到还没有读完题目就已经想出这是个什么题目，并且脑海中自然就冒出了具体解题思路后，你就离游刃有余不远了，一道综合性平面解析几何3问解答完，不会超过8分钟的。希望你早日实现这种境界。

追问

不用直接解出根,如何得MA、MB斜率
能写一下详细过程吗？

追答

这个计算的问题还用讲么，k1=(y0-y1)/(x0-x1) 前面得到x1+x2=c1,当然也能得y1+y2=c2
带入上面就把x1,y1换成关于x2,y2的一个分式了，与后面的k2=(y0-y2)/(x0-x2)相比就可以得到比值为-1，从而达到证明斜率绝对值相等，你自己去算算，一定能够得出结论的。
我给你提供几个我算得的数据吧，你计算的时候对照一下：x1+x2=2(cosa)^2x'；x1*x2=x'^2(cosa)^2-a^2(sina)^2 其中任意直线选为：y=k0(x-x'),，k0=-b/a*cota
这里的“a”你既可以看做椭圆参数方程中的角度，也可以看做一个计算过程中的代换，因为在整个解题过程中不单单用到了某一种坐标系内的形式，这里主要以直角坐标，带入三角代换后，就拥有了参数形式计算简化的优点，也拥有了直角坐标系中在开始计算中形式的直观与简化。
两种方式结合是我以前总结的一种技巧，你可以吧剩下的算一算，最后计算时，均以三角形似代入计算。

Answer 2

证明：不失一般性，设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) ①
其上任一点M(acost,bsint)
其关于x轴的对称点为M'(acost,-bsint)。
设直线l1的方程为
y-bsint=k(x-acost) ②
则直线l2的方程为
y-bsint=-k(x-acost) ③
将②代入①，有
b^2*x^2+a^2*[bsint+k(x-acost)]^2=a^2b^2 ④
整理得
(k^2a^2+b^2)x^2-2ka^2(kacost-bsint)x+a^2(a^2cos^2t-2kabsintcost+b^2sin^2t-b^2)=0
由韦达定理可得
x1+x2=2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2) ⑤
显然x1=acost满足方程④，代入⑤可得A点横坐标为
x2=2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-acost
于是A点纵坐标为
y2=bsint+k(x2-acost)
将③代入①，有
b^2*x^2+a^2*[bsint-k(x-acost)]^2=a^2b^2 ⑥
整理得
(k^2a^2+b^2)x^2-2ka^2(kacost+bsint)x+a^2(a^2cos^2t+2kabsintcost+b^2sin^2t-b^2)=0
由韦达定理可得
x1+x3=2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2) ⑦
显然x1=acost满足方程⑥，代入⑦可得B点横坐标为
x3=2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2)-acost
于是B点纵坐标为
y3=bsint-k(x2-acost)
则直线AB的斜率为
K'=(y2-y3)/(x2-x3)=2k(x2-acost)/(x2-x3)
=2k[2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-2acost]/[2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2)]=(bcost)/(asint) ⑧
椭圆方程b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2两边对x求导得
2b^2*x+2a^2*yy'=0
解得
y'=-b^2*x/(a^2*y)
而M'(acost,-bsint)，故过M'点得切线斜率为
y'=-b^2*acost/[a^2*(-bsint)]=(bcost)/(asint) ⑨
由⑧和⑨可知命题成立。
直接法比较麻烦，计算量很大。但只要思路正确，往往能够成功。