Question

已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,且过点P(2,2),

,过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点。
设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切

Answer 1

这个结论对任意抛物线都是成立的，所以下面的证明是就一般的抛物线给出的。

设抛物线方程为 y^2=2px (p>0) ，焦点 F(p/2 ，0) ，准线方程为 L：x= -p/2 。
设过 F 的直线方程与抛物线交于 A、B ，
过 A、B 分别向准线 L 作垂线 ，垂足为 A1、B1 ，
由抛物线定义 ，AF=AA1 ，BF=BB1 ，
所以 AB=AF+BF=AA1+BB1 ，
因此，AB 的中点到直线 L 的距离为 （直角梯形的中位线）(AA1+BB1)/2=AB/2 ，
由此可得，以 AB 为直线的圆恰与 L 相切 。