Question

A的转置乘以A的秩 等于 A乘以A的转置的秩，也等于A的秩。对不对？为什么？

Answer 1

不正确。

A是实矩阵就可以，实矩阵是指A中元素都是实数，不一定是对称矩阵。此时 r(A^TA) = r(A)，证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解，A不一定是方阵, 不一定可逆。

计算矩阵 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯阵形式有同 A一样的秩，它的秩就是非零行的数目。

扩展资料

应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

Answer 2

是的。只要A是实矩阵。这个性质不常用，当有时确很见效，比如2012数一的第21题，就可以直接用这个性质。高手往往就是这样比别人快而准的。加油。

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示

Answer 4

当A是实矩阵时正确.
看看这个:
http://zhidao.baidu.com/question/282915048.html
注意: 同解的齐次线性方程组, 其系数矩阵的秩相同

Answer 5

用一个不等式直接证明：
R（A）+R（B）-n <= R(AB) <= min{ R(A），R（B）}
n+n-n <= R(A^T A) <= n