Question

已知当x趋于0时,(e^(x^2)-(ax^2+bx+c))是比x^2高阶的无穷小，试确定常数a,b,c.

Answer 1

lim(e^(x^2)-(ax^2+bx+c))/x²=0

即
Lim(e^(x^2)-(ax^2+bx+c))=0
1-c=0
c=1
lim[(e^(x^2)-1]-(ax^2+bx))/x²=0

所以
分子比分母高阶，即b=0
原式=lim(e^(x^2)-1-ax^2)/x²=0
=lim(x->0)(2xe^(x²)-2ax)/2x
=lim(x->0)(e^(x²)-a)=0
e^0-a=0
a=1
所以
a=1,b=0,c=1

追问

{所以
分子比分母高阶，即b=0
原式=lim(e^(x^2)-1-ax^2)/x²=0
=lim(x->0)(2xe^(x²)-2ax)/2x
}抱歉，这里没看懂！

追答

lim[(e^(x^2)-1]-(ax^2+bx))/x²=0

因为e^(x²)-1等价于x²
所以
原式=lim((x^2)-(ax^2+bx))/x²=0
=lim[(1-a)x²-bx]/x²=0
所以
1-a=0
b=0
即
a=1,b=0

追问

”因为e^(x²)-1等价于x²
所以
原式=lim((x^2)-(ax^2+bx))/x²=0”
等价无穷小的代换不是只能在因式中进行吗？

Answer 2

lim(e^(x^2)-(ax^2+bx+c))/x²=0

即

Lim(e^(x^2)-(ax^2+bx+c))=0

1-c=0

c=1

lim[(e^(x^2)-1]-(ax^2+bx))/x²=0

所以

分子比分母高阶，即b=0

原式=lim(e^(x^2)-1-ax^2)/x²=0

=lim(x->0)(2xe^(x²)-2ax)/2x

=lim(x->0)(e^(x²)-a)=0

e^0-a=0

a=1

所以

a=1,b=0,c=1

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 3

已知当x趋于0时,[e^(x²)-(ax²+bx+c)]是比x²高阶的无穷小，试确定常数a,b,c.
解：∵x趋于0时,[e^(x²)-(ax²+bx+c)]是比x²高阶的无穷小，
∴必有x➔0lim[e^(x²)-(ax²+bx+c)]/x²=0，故必有1-c=0，即有c=1；
于是有x➔0lim[e^(x²)-(ax²+bx+1)]/x²=x➔0lim[2xe^x²-(2ax+b)]/2x=0，故必有b=0；
故又有x➔0lim(2xe^x²-2ax))/2x=x➔0lim(2e^x²+4x²e^x²-2a)/2=0，故必有2-2a=0，即有a=1.
∴a=1，b=0，c=1.