Question

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5,S15=225,（1).求数列{an}的通项公式

设bn=2^an-2n.求数列bn的前n项和Tn

Answer 1

S15=(a1+a15)*15/2=225
a1+a15=30
即2a8=30
a8=15
所以5d=a8-a3=10
d=2
a1=a3-2d=1
所以an=2n-1

bn=2^(2n-1)+2n
=4^n/2+2n
一个等比加一个等差
所以和=(4/2)*(1-4^n)/(1-4)+2n(n+1)/2
=2(4^n-1)/2+n(n+1)

Answer 2

（1）设等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）*d，
则等差数列前n项和的公式为Sn=n*a1+n*（n-1）*d/2，
所以有：a3=a1+2d=5，S15=15*a1+15*14*d/2=225
求解以上二元一次方程得到：a1=1，d=2
所以等差数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）*d=1+2*（n-1）
（2）将an代入bn的公式中：bn=2^[1+2(n-1)]-2n=2*2^2(n-1)-2n
1）上式中前半部分设为数列{Cn}：Cn=2*2^2(n-1)
可以得到C1=2，且Cn/Cn-1=2*2^2(n-1)/{2*2^2[(n-1)-1]}=4
可见Cn为一个以C1=2为首项，以q=4为公比的等比数列
根据等比数列前n项和公式Sn=C1(1-q^n)/(1-q)=2*（1-4^n)/(1-4)=(4^n-1)*2/3
2）上式中后半部分设为数列{Dn}：Dn=2n
可以得到D1=2，且Dn-Dn-1=2n-2(n-1)=2
可见Dn为一个以D1=2为首项，以d=2为公差的等差数列
根据等差数列前n项和公式Sn=n*D1+n*（n-1）*d/2=2n+n(n-1)=n^2+n
3）所以数列bn的前n项和Tn=数列Cn的前n项和-数列Dn的前n项和
所以Tn=(4^n-1)*2/3-（n^2+n）