Question

f(t)是连续的奇函数,证明∫(0,x)f(t)dt是偶函数， f(t)为连续的偶函数，证明∫(0,x)f(t)dt为奇函数？

Answer 1

证明：设F(x)=∫(0,x)f(t)dt
F(-x)=∫(0,-x)f(t)dt，对此积分，代换t=-y，代入得：
F(-x)=∫(0,-x)f(t)dt=∫(0,x)[-f(-y)]dy=∫(0,x)[-f(-t)]dt
如果f(t)是连续的奇函数,那么：f(-t)=-f(t) ，F(-x)=∫(0,x)[f(t)]dt=F(x)，F(x)为偶函数。
如果f(t)是连续的偶函数,那么：f(-t)=f(t) ，F(-x)=∫(0,x)[-f(t)]dt=-F(x)，F(x)为奇函数。

Answer 2

直接用奇函数的性质，你将f(t)用f(-t)来代，dt用d(-t)来代，计算一下就可以了~

追问

可以具体解答第一个不。