Question

泰勒公式的小问题！（求学霸！）

求y=e^x^2的含佩亚诺余项的麦克老林公式！
（是看成复合函数求导还是替换法（就是把x^2看成t,把t看成变量，最后直接换t)？这两种方法做出来答案不一样啊，正确答案是用替换法，为什么复合函数求导不对？为什么可以直接替换？

Answer 1

泰勒公式是
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)²/2!+..+o(x^n)
而
e^x=1+x+(x²/2!)+...+[(x^n)/n!]+o(x^n)..................①
要注意上式中的x不是求导以后的x，而是利用泰勒公式展开保留下来的x-0的部分
所以在求e^(x²)的泰勒展开式时，要把t=x²代入到①中的x，此时不能理解成复合函数求导，因为系数是f(x)的导函数f'(x)在x=x0处的函数值！

追问

这样说的话，是不是所有的函数都可以这样代换了？

追答

是的