Question

定积分∫(0到π/4)(cosx)^4=

Answer 1

∫(0到π/4)(cosx)^4=1/4+3π/32。

解答过程如下：

∫【0→π/4】(cosx)^4dx

=∫【0→π/4】[(cos2x+1)/2]²dx

=∫【0→π/4】(cos²2x+2cos2x+1)/4 dx

=1/4 ∫【0→π/4】[(cos4x+1)/2+2cos2x+1]dx

=1/4 ∫【0→π/4】[(cos4x)/2+2cos2x+3/2]dx

=【0→π/4】1/4 [(sin4x)/8+sin2x+3x/2]

=1/4[(sinπ)/8+sin(π/2)+3π/8-0]

=1/4+3π/32

扩展资料：

二倍角公式

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

Answer 2

∫(0到π/4)(cosx)^4 dx

=∫(0到π/4)【（1+cos2x)/2】^2 dx
=(1/4) ∫(0到π/4)【（1+cos2x)】^2 dx
=(1/4) ∫(0到π/4) 【1+2cos2x+(cos2x)^2】 dx
=(1/4) ∫(0到π/4) 【1】dx + (1/4) ∫(0到π/4) 【2cos2x】 dx+ (1/4) ∫(0到π/4) 【(cos2x)^2】 dx
=【x/4】(0到π/4) +1/4 ∫(0到π/4) 【cos2x】 d（2x） + (1/4) ∫(0到π/4) 【(1+cos4x)/2】 dx
=(π/16) +(1/4)【sin2x】(0到π/4) +(1/8) ∫(0到π/4) 【1+cos4x】 dx
=(π/16) +(1/4) +(1/8) ∫(0到π/4) 【1】 dx +(1/8) ∫(0到π/4) 【cos4x】 dx
=(π/16) +(1/4) +(1/8) 【x】(0到π/4) +(1/32) ∫(0到π/4) 【cos4x】 d（4x)
=(π/16) +(1/4) +(π/32) +(1/32) 【sin4x】(0到π/4)
=(π/16) +(1/4) +(π/32)

Answer 3

解：
∫【0→π/4】(cosx)^4dx
=∫【0→π/4】[(cos2x+1)/2]²dx
=∫【0→π/4】(cos²2x+2cos2x+1)/4 dx
=1/4 ∫【0→π/4】[(cos4x+1)/2+2cos2x+1]dx
=1/4 ∫【0→π/4】[(cos4x)/2+2cos2x+3/2]dx
=【0→π/4】1/4 [(sin4x)/8+sin2x+3x/2]
=1/4[(sinπ)/8+sin(π/2)+3π/8-0]
=1/4+3π/32