Question

设实数x,y,z满足x+y+z=1, 则M=xy+2yz+3xz的最大值为

Answer 1

解：令y=kx。z=1-x-y，M=xy+2yz+3xz=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)=kx²+2kx-2kx²-2k²x²+3x-3x²-3kx²=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x。

正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击(见第一次数学危机)。

任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。

从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

Answer 2

解：
令y=kx
z=1-x-y
M=xy+2yz+3xz
=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)
=kx²+2kx-2kx²-2k²x²+3x-3x²-3kx²
=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x
=-(2k²+4k+3)[x- (2k+3)/(4k²+8k+6)]²+ 1/(8k²+16k+12)
1/(8k²+16k+12)=1/(8k²+16k+8+4)=1/[8(k+1)²+4]
8(k+1)²+4≥4，0<1/[8(k+1)²+4]≤¼，当且仅当k=-1时取等号
此时，(2k+3)/(4k²+8k+6)=[2·(-1)+3]/[4·(-1)²+8·(-1)+6]=½
综上，得：当且仅当x=½，y=-½时，M=xy+2yz+3xz取得最大值
M的最大值为¼

Answer 3

Answer 4

答案为¾