Question

线性代数 考研：A、B 是n阶矩阵，E-AB可逆，证E-BA可逆。

线性代数 考研：A、B 是n阶矩阵，E-AB可逆，证E-BA可逆。
不会，求解答~

Answer 1

记号：[A, B; C, D]表示2X2分块矩阵，第一行块为A,B, 第2行块为C,D.

考虑[E-AB, 0; B, E]，将其第二行块左乘A加到第一行块得[E, A; B, E]，再将第一行块左乘-B加到第2行块得到[E, A; 0, E-BA]。该过程用矩阵乘积表示即
[E, 0; B, E][E, A; 0, E][E-AB, 0; B, E]=[E, A; 0, E-BA]。
两边同取行列式即得
det(E-AB)=det(E-BA)。
因此E-AB可逆，则E-BA可逆。

追问

你这个方法我明白了。。可是 一般做题都不是这个思路。。
向楼下的同学 用反证法 ，可是能保证 AX不为0么？

追答

楼下的反证法是正确的。

另外，一般x不为零，也有可能Ax=0。但是若A可逆，则x非零，必有Ax非零。

追问

恩 知道了~

Answer 2

反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 (方和有非零解) -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX＝0
也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题设矛盾，所以E-BA可逆，但这种证法不能求其逆的具体表示

追问

X不为0，AX一定不为0么？

Answer 3

用特征值做
E-AB可逆说明AB有1特征值
AB*&=&
两边同时乘以B
BAB*&=B&
说明BA也有特征值1
证毕

Answer 4

你好！你说的对，α≠0不能得出aα≠0，这个证法不对。下图是正确的做法，结论也更一般。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！