Question

已知在△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,AB=a,在线段AC上有动点M,在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P

1.当带你M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你的结论
2.过点M做边AB的垂线，垂足为Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由。

Answer 1

1、做ND∥AC交AB的延长线余D
∴∠D=∠A
∵∠C=90°，∠A=45°
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠A=∠CBA=∠NBD=∠D
即∠NBD=∠D
∴BN=DN=AM
在△AMP和△DNP中
AM=DN，∠A=∠D，∠APM=∠DPN
∴△AMP≌△DNP
∴PM=PN
2、过M作MD⊥AC交AB于D
∴△AMD也为等腰直角三角形
设DM=AM=BN=x,
∴AD=√2x （勾股定理）
∵MD⊥AC，BC⊥AC(∠ACB-90)
∴DM∥CN,
故由PM=PN得：BP=DP=1/2BD
AC=BC=a,AB=(√2)a
BD=AB-AD=（√2）a-(√2)x
∴BP=1/2BD=（√2）a-(√2/2)x
∵MQ⊥AB
∴在等腰直角三角形AMD中：DQ=AQ=1/2AD=（√2/2）x
∴PQ=PD+DQ=(√2 )a
线段PQ长度确定,与M、N的移动无关,长为(√2)a

Answer 2

1 过M做MQ平形BA 所以容易得到AM=BQ 因为AM=BN 所以BN=BQ 因为MQ平行AB 所以两三角形NBP~NQM 因为BN=BQ 所以NP=PM 下一问等你追问，我此刻来不及写！ 望采纳