Question

若b＞a＞1，讨论a的b次幂与b的a次幂大小

特别是a＜e＜b的情况，不要跟我说此时大小不确定

Answer 1

令f(x) = (lnx)/x，x>1。f(x)‘ =[ (1/x) * x - 1*lnx]/x^2 = (1-lnx)/x^2，
所以f(x)在(1,e)上递增，在[e，正无穷）上递减。
（1）当e>b＞a＞1时，f(b)>f(a)，得到b^a>a^b。
（2）当b＞a＞e时，f(b)<f(a)，得到b^a<a^b。
(3) 当b＞e>a＞1时，a的b次幂与b的a次幂大小大小不确定，说明如下：
1.1^3 = 1.331 < 3^1.1，也有92709 = 1.1^200 > 123 = 120^1.1。
所以说是不确定的。