Question

求不定积分 sin（lnx） dx

Answer 1

具体回答如下：

∫sin(lnx)dx

=xsin(lnx)-∫xdsin(lnx)

=xsin(lnx)-∫x*cos(lnx)*1/xdx

=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx

=xsin(lnx)-xcos(lnx)+∫xdcos(lnx)

=xsin(lnx)-xcos(lnx)-∫x*sin(lnx)*1/xdx

=xsin(lnx)-xcos(lnx)-∫sin(lnx)dx

∴2∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)+2C

∴∫sin(lnx)dx=[xsin(lnx)-xcos(lnx)]/2+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

∫sin(lnx)dx
=xsin(lnx)-∫xdsin(lnx)
=xsin(lnx)-∫x*cos(lnx)*1/xdx
=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx
=xsin(lnx)-xcos(lnx)+∫xdcos(lnx)
=xsin(lnx)-xcos(lnx)-∫x*sin(lnx)*1/xdx
=xsin(lnx)-xcos(lnx)-∫sin(lnx)dx
所以2∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)+2C
所以∫sin(lnx)dx=[xsin(lnx)-xcos(lnx)]/2+C

Answer 4