Question

正三角形ABC的边长是a，D是BC的中点，P是AC的动点，连接PB和PD得到△PBD,求△PBD的周长的最小值

Answer 1

几何法，简单，清晰：
解，过C做直线CE，令∠ACB=∠ACE=60度；且CD=CE；连接PE，BE。
∵CD=CE，∠ACB=∠ACE（所做）
PC为公用边
∴PCD⊿≌⊿PCE（两边和夹角对应相等，两三角形全等）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∵PB+PE＞BE（三角形的两边之和大于第三边）
∴△PBD周长=PB+PD+BD=PB+PE+BD＞BE+BD
∴△PBD周长最小值=BE+BD
在⊿BCE中，由余弦定理得：
BE²=BC²+CE²-2BC·cos∠BCE=a²+(a/2)²-2a(a/2)·cos120度=7a²/4
BE=√7a/2
∴△PBD周长最小值=BE+BD=a/2+√7a/2

Answer 2

如图所示做三角形AB2C与ABC关于AC对称，由于两点之间线段最短，所以将点B2与点D连线，交AC于点P2，连接B与点P2，则三角形BP2D为所求三角形，当然你也可以做三角形PDC的对称。希望能帮到您。

Answer 3

设CP=x(0<x<a)
则BD=a/2
PD^2=CP^2+CD^2-2CP*CD*COS60 (三角形PCD）
=x^2+a^2/4-2*x*a/2*1/2
=x^2-ax/2+a^2/4
PB^2=CP^2+BC^2-2CP*BC*COS60 (三角形PCB)
=x^2+a^2-2*x*a*1/2
=x^2-ax+a^2
所以三角形PBD周长=PD+PB+BD
=根号(x^2-ax/2+a^2/4)+根号(x^2-ax+a^2) +a/2
=根号((x-a/4)^2+3a^2/16)+根号((x-a/2)^2+3a^2/4) +a/2
两个根号部分分别表示点(x,0) 到点(a/4,根号3 a/4) 距离 和点(a/2,根号3 a/2)距离。
也就是说在点(0,0)到（a,0）上取点使得这点到两点的距离最小。
作点(a/4,-根号3 a/4)连接到点(a/2,根号3 a/2) 成一直线，这直线与x轴的交点就是所求的点。
直线方程为y-根号3 a/2=(根号3 a/2+根号3 a/4)/(a/2-a/4) (x-a/2)=3根号3 (x-a/2)
令y=0 得3x-3a/2=-a/2 x=a/3
所以当x=a/3时取最小值：根号7 a/2
周长最小值为根号7 a/2 +a/2

Answer 4

作B关于AC的点B'，过B'作B'E⊥BC的延长线于E，
在RTΔB'CE中，∠B'CE=60°(180°减去两个60°角)，
∴CE=1/2CB‘=1/2a，B'E=√3/2a，又CD=1/2a，∴DE=a，
∴在RTΔCDB'E中，
DB'=√(B'E^2+DE^2)=√[√3/2a)^2+a^2]=√(7/4a^2)=√7a/2