Question

正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到三角形PBD.求它的周长的最小值

Answer 1

如图，以AC为对称轴将△ABC翻折为△A'BC，则D'是D的对称点。

连接BD'交AC于点P，连接DP，则△PBD的周长最小。

过D'做D'E垂直BC交BC的延长线于点E

因D'的B'C的中点，∠B'CE＝60度，所以CD'＝a/2，CE＝a/4，D'E＝√3/4a

BD'^2=BE^2+ED'^2=(a+a/4)^2+(√3/4a)^2=(7/4a)^2

BD'=√7/2a

而BD=a/2

所以△PBD的周长最小值是(√7+1)/2a

Answer 2

作BE垂直于AC，垂足为E，延长BE于F使得EF=BE，连接DF，交AC于G，P运动到G点时，三角形PBD的周长有最小值。
对任一点P连接PF，显然PB=PF ,PD+PF>=DF
三角形PBD的周长=PD+PB+BD=PD+PF+BD>=DF+BD
三角形GBD的周长=GB+GD+BD=GF+GD+BD=DF+BD
所以 三角形PBD的周长>=三角形GBD的周长
三角形FBD中，角FBD=30°，BF=a√3,BD=a/2
由余弦定理，DF^2=(a√3)^2+(a/2)^2-2(a/2)(a√3)cos30
=a√7/2
三角形PBD的周长最小值=(1+√7+2√3)a/2

Answer 3

因为BD长固定,所以△PBD的周长的最小等价于PB+PD最小
所以作B关于AC的对称点B',PB+PD最小值就是B'D
B'D=(√7)a/2
所以△PBD的周长的最小值为[(√7)/2+1/2]a