线性代数题:设α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1),β1=(0,-1,1)……
设α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1),β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1).验证向量组α1,α2,α3与β...
设α1=(1,0,1),α2=(-1,0,0),α3=(0,1,1),β1=(0,-1,1),β2=(1,-1,0),β3=(1,0,1).验证向量组α1,α2,α3与β1,β2,β3都是向量空间R*3的基。
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因为在R*3是3维向量空间,因此只需要证明α1,α2,α3线性无关,即通过初等行变换得到α1,α2,α3的秩,即R(α1,α2,α3)=3;所以α1,α2,α3是向量空间的R*3的基。同理,求R(β1,β2,β3)=3
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a1+a2=(0 0 1)
a3-a1-a2=(0 1 0)
-a2=(1 0 0)
构成R^3的基 故a1 a2 a3 也能构成R^3的基
-1/2(b1+b2-b3)=(0 1 0)
b1-1/2(b1+b2-b3)=(0 0 1)
b2-1/2(b1+b2-b3)=(1 0 0)
同理得证
a3-a1-a2=(0 1 0)
-a2=(1 0 0)
构成R^3的基 故a1 a2 a3 也能构成R^3的基
-1/2(b1+b2-b3)=(0 1 0)
b1-1/2(b1+b2-b3)=(0 0 1)
b2-1/2(b1+b2-b3)=(1 0 0)
同理得证
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证明α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3线性无关即可,他们形成的3阶行列式不等于0.
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